טרפז ודלתוןגאומטריה 571 · שיעור 19
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות
שיעור 19: טרפז ודלתון
פרק 5 · מרובעים
1טרפז, טרפז שווה שוקיים וקטע אמצעים בטרפז
2דלתון: תכונות (עם הוכחה)
35 תרגילים, כולל הוכחה מורכבת
הגדרה + משפטים
טרפז וטרפז שווה שוקיים
טרפז: זוג אחד של צלעות מקבילות (בסיסים): AB ∥ DC
∢A + ∢D = 180 , ∢B + ∢C = 180
זוויות חד־צדדיות בין מקבילים
טרפז שווה שוקיים: AD = BC ← זוויות הבסיס שוות: ∢A = ∢B , ∢D = ∢C
בטרפז שווה שוקיים גם האלכסונים שווים: AC = BD (ולהפך – משפט זיהוי)
קטע אמצעים בטרפז: מקביל לבסיסים ושווה לחצי סכומם
📐 הגדרה
טרפז: מרובע עם זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות (הבסיסים)
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות
📐 משפט
בטרפז שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים
📐 משפט זיהוי
טרפז שבו זוויות הבסיס שוות (או האלכסונים שווים) – הוא טרפז שווה שוקיים
📐 משפט
קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה לחצי סכומם
EF = (AB + DC) : 2
הגדרה + משפט + הוכחה
דלתון
דלתון: AB = AD , CB = CD (שני זוגות של צלעות סמוכות שוות)
△ABC ≅ △ADC
צ.צ.צ (AC משותפת)
∢BAC = ∢DAC , ∢B = ∢D
במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
AO חוצה את זווית הראש ב־△ABD שווה השוקיים ← AC ⊥ BD , BO = OD
חוצה זווית הראש הוא גם גובה וגם תיכון
📐 משפט: בדלתון האלכסון הראשי חוצה את הזוויות, חוצה את האלכסון השני ומאונך לו
📐 הגדרה
דלתון: מרובע עם שני זוגות של צלעות סמוכות שוות
📐 משפט חפיפה
צ.צ.צ: שלוש צלעות
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 משפט
בדלתון הזוויות שבין הצלעות השונות (לא שוות) – שוות זו לזו
📐 משפט
במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
תרגיל 1 · זוויות בטרפז · קל
ABCD טרפז (AB ∥ DC). ∢A = 3x + 5 , ∢D = 2x + 25
מצאו את x ואת ∢A ו־∢D
מצאו את x ואת ∢A ו־∢D
∢A + ∢D = 180
AB ∥ DC – סכום זוויות חד־צדדיות 180
3x + 5 + 2x + 25 = 180
מציבים
5x + 30 = 180 ⟹ 5x = 150
כינוס ומעבירים אגפים
x = 30
מחלקים ב־5
∢A = 3 · 30 + 5 = 95 , ∢D = 2 · 30 + 25 = 85
מציבים x = 30
✅ פתרון סופי: x = 30 , ∢A = 95 , ∢D = 85
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
תרגיל 2 · טרפז שווה שוקיים · קל
ABCD טרפז שווה שוקיים (AB ∥ DC , AD = BC). ∢A = 65 , AC = 12
מצאו את כל זוויות הטרפז ואת BD
מצאו את כל זוויות הטרפז ואת BD
∢B = ∢A = 65
בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
∢D = 180 − 65 = 115
סכום זוויות חד־צדדיות 180
∢C = ∢D = 115
בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
BD = AC = 12
בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים
✅ פתרון סופי: ∢A = ∢B = 65 , ∢C = ∢D = 115 , BD = 12
📐 משפט
בטרפז שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות
תרגיל 3 · קטע אמצעים בטרפז · בינוני
ABCD טרפז (AB ∥ DC), EF קטע האמצעים
AB = 3x , DC = x + 4 , EF = x + 5. מצאו את x ואת שלושת הקטעים
AB = 3x , DC = x + 4 , EF = x + 5. מצאו את x ואת שלושת הקטעים
EF = (AB + DC) : 2 ⟹ 2 · EF = AB + DC
קטע אמצעים בטרפז שווה לחצי סכום הבסיסים
2(x + 5) = 3x + x + 4
מציבים
2x + 10 = 4x + 4
פותחים סוגריים וכינוס
10 − 4 = 4x − 2x ⟹ 6 = 2x
מעבירים אגפים
x = 3
מחלקים ב־2
AB = 9 , DC = 7 , EF = 8 ✔ (8 = 16 : 2)
מציבים x = 3
✅ פתרון סופי: x = 3 , AB = 9 , DC = 7 , EF = 8
📐 משפט
קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה לחצי סכומם
EF = (AB + DC) : 2
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
תרגיל 4 · זוויות בדלתון · בינוני
ABCD דלתון: AB = AD , CB = CD
נתון: ∢BAD = 80 , ∢BCD = 50. מצאו את ∢B , ∢D ואת ∢DAC
נתון: ∢BAD = 80 , ∢BCD = 50. מצאו את ∢B , ∢D ואת ∢DAC
∢B + ∢D = 360 − 80 − 50 = 230
סכום הזוויות במרובע 360
∢B = ∢D
בדלתון הזוויות שבין הצלעות השונות שוות
∢B = ∢D = 230 : 2 = 115
מחלקים ב־2
∢DAC = 80 : 2 = 40
בדלתון האלכסון הראשי חוצה את הזוויות
✅ פתרון סופי: ∢B = ∢D = 115 , ∢DAC = 40
📐 משפט
סכום הזוויות הפנימיות במצולע קמור עם n צלעות
(n − 2) · 180
📐 משפט
בדלתון הזוויות שבין הצלעות השונות (לא שוות) – שוות זו לזו
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 משפט
בדלתון: האלכסון הראשי חוצה את הזוויות, חוצה את האלכסון השני ומאונך לו
תרגיל 5 · מורכב: האלכסונים בטרפז שווה שוקיים
ABCD טרפז שווה שוקיים (AB ∥ DC , AD = BC). האלכסונים נחתכים ב־E
הוכיחו: △ABD ≅ △BAC , ו־EA = EB
הוכיחו: △ABD ≅ △BAC , ו־EA = EB
∢DAB = ∢CBA
בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
AD = BC , AB = BA
נתון , צלע משותפת
△ABD ≅ △BAC
צ.ז.צ
∢ABD = ∢BAC , כלומר ∢EBA = ∢EAB
במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
EA = EB
במשולש AEB שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: △ABD ≅ △BAC , EA = EB
📐 משפט
בטרפז שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 משפט חפיפה
צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית שביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 משפט הפוך
אם במשולש יש שתי זוויות שוות ← המשולש שווה שוקיים (הצלעות שמולן שוות)
∢B = ∢C ⟹ AB = AC
📌 מה למדנו היום
📐 משפט
בטרפז שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים
📐 משפט
קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה לחצי סכומם
EF = (AB + DC) : 2
📐 משפט
בדלתון: האלכסון הראשי חוצה את הזוויות, חוצה את האלכסון השני ומאונך לו
💡 בטרפז מחפשים זוויות חד־צדדיות על השוקיים. בדלתון – האלכסון הראשי הוא ציר הסימטריה.
בשיעור הבא: משפט פיתגורס
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא